Modello relazionale

Premessa

Portale di appartenenza: Basi di dati.

Cosa troverai in questa nota:

• Un’introduzione ai concetti che compongono il modello relazionale, dalle origini concettuali di Codd fino ad arrivare alla definizione formale di base di dati.
• Una definizione dei vari tipi di vincoli di integrità, compresi il vincolo locale di chiave primaria e il vincolo globale di integrità referenziale.

Prerequisiti: per comprendere pienamente il contenuto di questa nota, oltre le conoscenze minime che do per scontato che tu sappia già, ti consiglio di aver letto in precedenza queste altre note:

• Basi di dati.

Buona lettura! ☝️🤓

Definizione: modello relazionale

Il modello relazionale è un modello logico per l’organizzazione e la gestione dei dati nei database, basato sulla teoria degli insiemi e sulla logica matematica proposto da Edgar F. Codd nel 1970.

1 - Introduzione di Codd sul modello relazionale

Edgar F. Codd, nel suo articolo scientifico in cui ha introdotto le basi del modello relazionale (e che puoi trovare integralmente qui, o tradotto in italiano qui) pubblicato nel 1970, spiega i motivi che lo hanno portato allo sviluppo di questo modello come alternativa al modello reticolare o al modello a grafo molto diffusi in quel periodo. In particolare, i vantaggi del modello relazionale introdotto da Codd sono:

• Indipendenza (logica e fisica) dei dati: nei modelli precedenti, la struttura fisica dei dati influenzava direttamente il modo in cui essi venivano interrogati e manipolati, mentre nel modello relazionale i dati sono organizzati in tabelle e possono essere modificati senza impattare le applicazioni che li usano.
• Semplicità concettuale: le relazioni sono intuitive e basate su concetti matematici solidi (come la teoria degli insiemi e l’algebra relazionale), mentre i modelli gerarchico e reticolare richiedevano una gestione complessa dei puntatori e dei percorsi di accesso ai dati.
• Eliminazione della ridondanza e maggiore integrità dei dati: il modello relazionale introduce il concetto di normalizzazione che aiuta a ridurre la ridondanza e i problemi di inconsistenza dei dati, mentre nei modelli precedenti la duplicazione dei dati era comune e poteva causare incongruenze.
• Facilità di manutenzione ed evoluzione: l’architettura relazionale permette di modificare la struttura dei dati senza riscrivere il codice delle applicazioni, mentre nei modelli precedenti ogni modifica poteva richiedere una riscrittura significativa del software.

2 - Introduzione alle relazioni e alle tabelle

Il modello relazionale si basa su due concetti fondamentali: relazione e tabella, che, pur essendo diversi nella loro natura, sono strettamente collegati. La relazione deriva dalla matematica, in particolare dalla teoria degli insiemi e dal concetto di relazione $n$-aria, e rappresenta un oggetto matematico definito come un sottoinsieme del prodotto cartesiano di una famiglia di insiemi, ognuno dei quali viene detto dominio del prodotto.

Ad esempio, dati gli insiemi (domini) $A=\{1,2,4\}$ e $B=\{a,b\}$, il prodotto cartesiano $A\times B$ è l’insieme di tutte le coppie possibili in cui il primo elemento appartiene ad $A$ e il secondo a $B$. Poiché $A$ ha tre elementi e $B$ ne ha due, abbiamo sei coppie:

$$\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(4,a),(4,b)\}$$

Una tabella, al contempo, è una particolare rappresentazione di una relazione in forma matriciale, in cui ogni riga corrisponde a un elemento della relazione e ogni colonna a un dominio del prodotto. Per esempio, riprendendo la relazione $A\times B=\{1,2,4\}\times \{a,b\}$, una sua rappresentazione tabellare è la seguente:

$$\begin{array}{cc}1& a\\ 1& b\\ 2& a\\ 2& b\\ 4& a\\ 4& b\end{array}$$

Si può notare come ogni riga contenga un elemento (es. nella prima riga c’è l’elemento $(1,a)$, nella seconda $(1,b)$ e così via), mentre in ognuna delle due colonne c’è ognuno dei due domini $A$ e $B$ che compongono il prodotto cartesiano.

2.1 - Relazioni per la rappresentazione di dati

Le relazioni (e le loro corrispondenti tabelle) possono essere usate per rappresentare dati schematicamente.

Per esempio, la seguente tabella contiene i risultati di un insieme di partite di calcio:

$$\begin{array}{cccc}\text{Real Madrid}& \text{Liverpool}& 3& 1\\ \text{Liverpool}& \text{Milan}& 2& 0\\ \text{Torino}& \text{Juventus}& 1& 1\\ \text{Roma}& \text{Milan}& 0& 1\end{array}$$

Ogni riga rappresenta una partita di calcio in cui la squadra nella prima colonna ha segnato il numero di gol nella terza colonna e la squadra nella seconda colonna il numero di gol nella quarta. Ad esempio, la prima riga $(\text{Real Madrid},\text{Liverpool},3,1)$ indica che la partita Real Madrid - Liverpool si è conclusa con un 3 a 1 per il Real Madrid. Possiamo notare come i dati in questa tabella (relazione) appartengano a due domini: quello delle stringhe e quello dei numeri interi. Infatti questa relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano:

$$\text{Stringhe}\times \text{Stringhe}\times \text{Interi}\times \text{Interi}$$

Ricordiamo che le relazioni sono formate da tuple ordinate, cioè in una $n$-upla $⟨v_1,v_2,\dots ,v_n⟩$ ogni elemento $v_i$ appartiene al suo corrispondente dominio $D_i$, per ogni $i$ compreso tra $1$ ed $n$ (estremi inclusi). Inoltre, una relazione è un insieme, e quindi:

• Non esiste un ordine definito tra le tuple: nelle tabelle che le rappresentano c’è ovviamente un ordine di “presentazione”, ma esso è irrilevante, poiché due tabelle con le stesse righe, ma in ordine diverso, rappresentano la stessa relazione.
• Le tuple di una relazione sono tutte distinte: in un insieme non possono esistere due elementi identici, quindi una tabella può rappresentare una relazione solo se le sue righe sono tutte diverse tra loro.

Possiamo anche notare come l’importanza dell’ordine degli elementi nelle tuple si può anche evincere dalla tabella precedente: se scambiassimo di posto le ultime due colonne, pur essendo entrambe rappresentate dal dominio dei numeri interi, falseremmo i risultati delle partite. Questo ordinamento tra i domini di una relazione corrisponde in realtà a una caratteristica insoddisfacente del concetto di relazione, così come è definito in matematica, per quanto riguarda la possibilità di organizzare e utilizzare i dati. Infatti, in informatica si tende a preferire notazioni non posizionali a quelle posizionali:

• Le notazioni non posizionali permettono di fare riferimento agli elementi di una tupla mediante nomi simbolici.
• Le notazioni posizionali, invece, fanno riferimento ai campi attraverso il loro ordine, e dovrebbero essere utilizzate solo quando l’ordinamento corrisponde a una caratteristica intrinseca, come accade, ad esempio, nei problemi di analisi numerica, dove gli array offrono una rappresentazione ovvia e diretta di vettori e matrici.

Per questo motivo, introduciamo una notazione non posizionale, associando nomi ai domini di una relazione, detti attributi, che descrivono i “ruoli” svolti dai domini stessi. Ad esempio, per la relazione relativa alle partite, possiamo usare nomi come $\text{SquadraInCasa}$, $\text{SquadraOspite}$, $\text{GoalInCasa}$, $\text{GoalOspiti}$. Nella rappresentazione tabellare, gli attributi possono essere utilizzati come intestazioni delle colonne:

$\text{SquadraInCasa}$	$\text{SquadraOspite}$	$\text{GoalInCasa}$	$\text{GoalOspiti}$
$\text{Real Madrid}$	$\text{Liverpool}$	$3$	$1$
$\text{Liverpool}$	$\text{Milan}$	$2$	$0$
$\text{Torino}$	$\text{Juventus}$	$1$	$1$
$\text{Roma}$	$\text{Milan}$	$0$	$1$

Dato che è necessario identificare in modo univoco le componenti, gli attributi di una relazione (e quindi le intestazioni delle colonne) devono essere tutti diversi tra loro.

Modificando la definizione di relazione con l’introduzione degli attributi, e ancora prima di fornire una definizione formale, possiamo osservare che l’ordinamento degli attributi (e quindi delle colonne nella rappresentazione tabellare) è irrilevante: non è più necessario parlare di primo dominio, secondo dominio, e così via; è sufficiente fare riferimento agli attributi stessi. Ad esempio, la seguente rappresentazione tabellare della relazione è equivalente alla precedente, con gli attributi (e quindi le colonne) in un ordine diverso, seguendo lo stile americano, in cui la squadra di casa viene mostrata dopo la squadra ospite.

$\text{SquadraOspite}$	$\text{SquadraInCasa}$	$\text{GoalOspiti}$	$\text{GoalInCasa}$
$\text{Liverpool}$	$\text{Real Madrid}$	$1$	$3$
$\text{Milan}$	$\text{Liverpool}$	$0$	$2$
$\text{Juventus}$	$\text{Torino}$	$1$	$1$
$\text{Milan}$	$\text{Roma}$	$1$	$0$

3 - Definizione formale di relazione

Dopo aver introdotto informalmente i concetti riguardanti il modello relazionale, ora ci tocca introdurli da un punto di vista formale, rigoroso e matematico.

3.1 - Definizione di tipi di dati, attributi e schemi

Per arrivare a definire il concetto di relazione, dobbiamo partire dalle fondamenta del modello relazionale, definendo formalmente cosa sono i tipi dei dati e i relativi attributi.

Definizione: tipo di dato

Un tipo di dato (o semplicemente tipo) $T$ è un insieme di valori caratterizzato da:

• Un dominio $D$ di valori, ossia un insieme di valori possibili che il dato può assumere.
• Una collezione di operazioni abilitate ad agire sui valori nel dominio $D$, tra cui operazioni di confronto tra i dati.

Esempio: tipo di dato intero

Un esempio immediato di un tipo di dato è il tipo intero, il cui dominio $D$ dei valori corrisponde all’insieme dei numeri interi $\mathbb{Z}$. Operazioni consentite sul dominio $D$ sono per esempio l’operazione di addizione $+$, di sottrazione $-$, di moltiplicazione $\cdot$, di divisione $÷$ ecc., mentre operazioni di confronto sono le operazioni di uguaglianza $=$, di diverso $\ne$, di minore $<$, di maggiore o uguale $\ge$ e così via.

Esempio: tipo di dato stringa

Un altro esempio di un tipo di dato è il tipo stringa, il cui dominio $D$ dei valori corrisponde alle possibili combinazioni delle lettere dell’alfabeto. Operazioni consentite sul dominio $D$ sono per esempio l’operazione di concatenazione tra stringhe, mentre operazioni di confronto sono le operazioni di confronto delle lunghezze tra due stringhe.

I tipi standard (o predefiniti) che si trovano solitamente all’interno dei DBMS sono:

• Intero (int): per l’insieme dei numeri interi $\mathbb{Z}$.
• Reale (float): per l’insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$.
• Stringa (string): per l’insieme di tutte le possibili combinazioni delle lettere dell’alfabeto.
• Carattere (char): per i singoli caratteri dell’alfabeto.
• Data (date): per la rappresentazione di date e orari.
• Booleano (bool): per la rappresentazione di valori binari.

Possono inoltre esserci tipi definiti dall’utente stesso, come tipi composti o personalizzati, ad esempio:

• Enumerati: insiemi finiti di valori predefiniti (es. l’insieme dei giorni della settimana).
• Array: strutture che contengono più valori dello stesso tipo (es. un array di interi).
• Tipi strutturati: strutture che contengono più valori di tipo diverso.

I tipi dei dati vengono utilizzati all’interno degli attributi di una relazione.

Definizione: attributo

Un attributo $A$ è un insieme di valori associato a un tipo di dato $T$ che determina quali valori può assumere.

Esempi di attributi

Esempi di attributi potrebbero essere:

• Un attributo $\text{Nome}$ di tipo stringa che può avere come valori associati tutti i possibili nomi validi, come $\text{Alice}$, $\text{Marco}$, $\text{Giulia}$, ecc.
• Un attributo $\text{Etaˋ}$ di tipo intero che può avere come valori associati tutti i numeri interi da un certo valore minimo a un massimo (es. $\{0,1,2,\dots ,120\}$).
• Un attributo $\text{Semaforo}$ di tipo enumerato che può avere come valori associati l’insieme $\{\text{Verde},\text{Giallo},\text{Rosso}\}$.

Notazione: unione di attributi

Dati due attributi $A$ e $B$, la notazione $AB$ rappresenta l’unione insiemistica $A\cup B$.

Cosa succede se, nel momento in cui devo inserire un dato, non ne conosco il suo valore? È possibile inserire dei valori “mancanti” in una relazione? La risposta è che ci sono diversi modi per farlo:

• Usando un particolare valore del dominio del tipo di dato, in modo tale che quel valore sia convenzionalmente interpretato come un placeholder e privandolo del suo valore effettivo.

Esempio di valore placeholder

In un attributo $\text{Etaˋ}$ di tipo intero in cui vanno inserite le età di diverse persone, posso scegliere per esempio di assegnare il valore $0$ a quelle persone di cui non conosco l’età, ma ciò mi rende impossibile allora usare il valore $0$ nel suo significato concreto, per esempio non posso assegnarlo come valore all’età di un neonato. Un’alternativa potrebbe essere usare un valore che sicuramente non mi servirebbe assegnare a nessuno, come $200$ o $-1$.

• Usando un valore creato ad hoc, ossia un valore nullo usato specificatamente per questo ruolo.

Definizione: valore nullo

Il valore nullo, denotato con "$\text{null}$", è un valore, usato per rappresentare la mancanza di un dato, che appartiene al dominio $D$ di qualsiasi tipo $T$:

$$\forall T(\text{null}\in D)$$

Gli attributi sono raggruppati in schemi.

Definizione: schema di una relazione

Uno schema di una relazione (o semplicemente schema) $A$ è un insieme di attributi $\{A_1,A_2,\dots ,A_n\}$.

Esempio di schema

Un esempio di schema potrebbe essere l’insieme di attributi che identificano gli studenti di un’università:

$$A=\{\text{Matricola},\text{Cognome},\text{Nome},\text{DataDiNascita},\text{CorsoDiLaurea}\}$$

dove:

• $\text{Matricola}$ è un attributi di tipo stringa che rappresenta un identificatore univoco per lo studente.
• $\text{Cognome}$ è un attributo di tipo stringa che rappresenta il cognome dello studente.
• $\text{Nome}$ è un attributo di tipo stringa che rappresenta il nome dello studente.
• $\text{DataDiNascita}$ è un attributo di tipo data che rappresenta la data di nascita dello studente.
• $\text{CorsoDiLaurea}$ è un attributo di tipo stringa che indica il corso di laurea a cui è iscritto lo studente.

Rappresentazione di uno schema in D2

Tramite il linguaggio dichiarativo D2, progettato per la creazione di diagrammi in modo semplice e leggibile, è possibile avere una rappresentazione di uno schema facilmente consultabile, con la lista degli attributi e i loro relativi tipi.

Per esempio, consideriamo lo schema dell’esempio precedente. Tramite D2, si può ottenere la seguente rappresentazione:

Il codice per ottenerlo è il seguente (puoi testarlo sul D2 Playground):

A: {
  shape: sql_table
  Matricola: string
  Cognome: string
  Nome: string
  DataDiNascita: date
  CorsoDiLaurea: string
}
 

Possiamo fare alcune osservazioni sulla definizione di schema.

Osservazione: duplicati e ordine in uno schema

Uno schema, essendo un insieme, per definizione non ammette duplicati: ciò significa che non possono esserci all’interno di uno stesso schema due attributi con lo stesso nome: per esempio, non possono esserci due attributi $\text{Nome}$ nello stesso schema.

Ciò, però, non vieta l’esistenza di due attributi con nomi diversi ma stesso tipo di dato (es. $\text{Cognome}$ e $\text{Nome}$ sono entrambi di tipo stringa).

Allo stesso modo, ricordiamo che in un insieme anche l’ordine non conta, quindi gli schemi $A=\{\text{Matricola},\text{Cognome},\text{Nome},\text{DataDiNascita},\text{CorsoDiLaurea}\}$ e $A^{\prime }=\{\text{Matricola},\text{CorsoDiLaurea},\text{Nome},\text{Cognome},\text{DataDiNascita}\}$ sono equivalenti.

3.2 - Definizione di record e istanze

Una volta che abbiamo introdotto la definizione di schema, possiamo ora introdurre quelle definizioni che ci servono per arrivare al concetto di relazione.

Definizione: record

Dato uno schema $A$, un record $t$ è una $n$-upla $⟨v_1,v_2,\dots ,v_n⟩$ (e per questo viene anche chiamato tupla) della relazione $n$-aria $A_1\times A_2\times \dots \times A_n$ in cui ogni $v_i$ appartiene al dominio $D_i$ del corrispettivo attributo $A_i$.

Notazione: valori di un record

Per indicare il valore di un record $t=⟨v_1,v_2,\dots ,v_n⟩$ in corrispondenza di un attributo $A_i$ di uno schema $A$, si utilizza la notazione:

$$v_i=t[A_i]$$

Per indicare invece i valori di un record $t=⟨v_1,v_2,\dots ,v_n⟩$ in corrispondenza di multipli attributi $A_i,A_j,A_k$ di uno schema $A$, si utilizza la notazione:

$$⟨v_i,v_j,v_k⟩=t[A_i,A_j,A_k]$$

Esempio di record

Dato uno schema $A=\{\text{Matricola},\text{Cognome},\text{Nome},\text{DataDiNascita},\text{CorsoDiLaurea}\}$, possibili record sono:

• $t_1=⟨1298309,\text{Rossi},\text{Mario},14/03/2001,\text{Informatica}⟩$.
• $t_2=⟨7521238,\text{Verdi},\text{Sofia},30/01/2004,\text{Psicologia}⟩$.

con:

• $t_1[\text{Nome}]=\text{Mario}$.
• $t_2[\text{Matricola},\text{DataDiNascita},\text{CorsoDiLaurea}]=⟨7521238,30/01/2004,\text{Psicologia}⟩$.

Osservazione: record come funzione

Data l’irrilevanza dell’ordine dei valori di un record $t=⟨v_1,v_2,\dots ,v_n⟩$, esso può essere rappresentato come una funzione che fa corrispondere a ogni attributo $A_i$ di uno schema $A$ un valore del suo dominio $D_i$:

$$t:A\to D$$

Definizione: istanza di una relazione

Dato uno schema $A$, un’istanza di una relazione (o semplicemente istanza, anche detta stato) $r$ è l’insieme di tutti i record $t_i=⟨v_1,v_2,\dots ,v_n⟩$.

Notazione: valori di una tupla in corrispondenza di un insieme di attributi

Data un’istanza $r$ e una tupla $t=⟨v_1,v_2,\dots ,v_n⟩\in r$, se si vogliono ottenere i valori $⟨v_i,v_j,\dots ,v_k⟩$ di $t$ in corrispondenza degli attributi $A_i,A_j,\dots ,A_k$ dello schema $A$ si può usare la seguente notazione:

$$⟨v_i,v_j,\dots ,v_k⟩=t[A_i,A_j,\dots ,A_k]$$

Così come per gli schemi, anche per le istanze non bisogna tenere conto di elementi duplicati e dell’ordine degli elementi.

Osservazione: duplicati e ordine in un'istanza

Un’istanza, essendo un insieme, per definizione non ammette duplicati: ciò significa che non possono esserci all’interno di una stessa istanza due record uguali.

Allo stesso modo, ricordiamo che in un insieme anche l’ordine non conta, quindi le istanze $r=\{⟨a_1,a_2⟩,⟨b_1,b_2⟩\}$ e $r^{\prime }=\{⟨b_1,b_2⟩,⟨a_1,a_2⟩\}$ sono equivalenti.

Osservazione: istanza come insieme di funzioni

Dato che ogni record può essere rappresentato come una funzione, l’istanza può essere intesa come un insieme di funzioni tutte distinte tra loro (sempre perché in un insieme gli elementi sono unici).

3.2.1 - Compatibilità di un record

Per capire se un record appartiene a un dato schema, dobbiamo verificarne la compatibilità.

Definizione: compatibilità di un record in uno schema

Un record $t=⟨v_1,v_2,\dots ,v_n⟩$ si dice compatibile con uno schema $A$ se ogni valore $v_i$ del record $t$ appartiene al dominio $D_i$ del relativo attributo $A_i$, ossia se il record $t$ è una funzione totale sullo schema $A$ (come visto nell’osservazione precedente).

Esempio di compatibilità di record

Dato uno schema $A=\{\text{Matricola},\text{Cognome},\text{Nome},\text{DataDiNascita},\text{CorsoDiLaurea}\}$, un possibile record compatibile è $t_1=⟨1298309,\text{Rossi},\text{Mario},14/03/2001,\text{Informatica}⟩$.

Al contrario, il record $t_2=⟨\text{Verdi},\text{Sofia},7521238,30/01/2004,\text{Psicologia}⟩$ non è compatibile in quanto ogni valore $v_i$ di $t_2$ non appartiene al dominio $D_i$ del relativo attributo $A_i$.

Similmente, il record $t_3=⟨1298309,\text{Rossi},\text{Informatica},14/03/2001,\text{Mario}⟩$ non è compatibile perché, pur essendo il terzo e l’ultimo valore entrambi dello stesso tipo stringa, il loro dominio è diverso: il terzo valore dovrebbe appartenere al dominio dei nomi propri di persona, mentre l’ultimo valore al dominio dei corsi di laurea dell’università.

3.3 - Definizione di relazione

Una volta definito cos’è uno schema e un’istanza, possiamo ora finalmente definire cos’è una relazione.

Definizione: relazione

Una relazione $R(A)$ è una coppia ordinata $⟨A,r⟩$ dove $A$ è uno schema e $r$ è un’istanza associata ad $A$.

Esempio di relazione

Un esempio di relazione potrebbe essere l’istanza:

$$\begin{array}{rl}r=\{& ⟨1298309,\text{Rossi},\text{Mario},14/03/2001,\text{Informatica}⟩,\\ & ⟨7521238,\text{Verdi},\text{Sofia},30/01/2004,\text{Psicologia}⟩\}\end{array}$$

associata allo schema:

$$A=\{\text{Matricola},\text{Cognome},\text{Nome},\text{DataDiNascita},\text{CorsoDiLaurea}\}$$

che dà origine alla relazione:

$$R(\text{Matricola},\text{Cognome},\text{Nome},\text{DataDiNascita},\text{CorsoDiLaurea})$$

Osservazione: differenza tra relazione matematica e relazione di Codd

In matematica, una relazione $n$-aria $A\times B$ è diversa da una relazione $B\times A$ (perché non vale la proprietà commutativa), ovvero le relazioni sono strettamente legate all’ordine degli insiemi.

Nel modello relazionale di Codd, invece, l’ordine degli attributi $A_1,A_2,\dots ,A_n$ di uno schema $A$ è irrilevante (e ciò deriva dal fatto che lo schema è un insieme che, per definizione, non è ordinato).

Come già visto nell’introduzione di questa pagina, una relazione si può rappresentare in forma tabellare.

Notazione: rappresentazione tabellare di una relazione

Una relazione $R(A)$ con istanza $r$ può essere rappresentata in forma tabellare, dove:

• Le colonne rappresentano gli attributi $A_1,A_2,\dots ,A_n$ dello schema $A$.
• Le righe rappresentano i record dell’istanza $r$.

Esempio di rappresentazione tabellare di una relazione

Una relazione $R(\text{Matricola},\text{Cognome},\text{Nome},\text{DataDiNascita},\text{CorsoDiLaurea})$ con istanza:

$$\begin{array}{rl}r=\{& ⟨1298309,\text{Rossi},\text{Mario},14/03/2001,\text{Informatica}⟩,\\ & ⟨7521238,\text{Verdi},\text{Sofia},30/01/2004,\text{Psicologia}⟩\}\end{array}$$

può essere rappresentata come la tabella:

$\text{Matricola}$	$\text{Cognome}$	$\text{Nome}$	$\text{DataDiNascita}$	$\text{CorsoDiLaurea}$
$1298309$	$\text{Rossi}$	$\text{Mario}$	$14/03/2001$	$\text{Informatica}$
$7521238$	$\text{Verdi}$	$\text{Sofia}$	$30/01/2004$	$\text{Psicologia}$

Definizione: grado di una relazione

Data una relazione $R(A)$, il suo grado $|A|$ è la cardinalità del suo schema $A$, ossia il numero dei suoi attributi.

Osservazione: grado di una relazione sempre $\ge 1$

In una relazione $R(A)$, l’insieme degli attributi $A_1,A_2,\dots ,A_n$ è sempre non vuoto, quindi il suo grado $|A|$ è sempre $\ge 1$.

Definizione: cardinalità di una relazione

Data una relazione $R$ con istanza $r$, la sua cardinalità $|R|$ è la cardinalità della sua istanza $r$, ossia il numero dei suoi record.

Osservazione: cardinalità di una relazione sempre $\ge 0$

Contrariamente a quanto accade per lo schema, in una relazione $R$ la sua istanza $r$ può essere un insieme vuoto (cioè può non contenere alcun record), quindi la sua cardinalità $|R|$ è sempre $\ge 0$ (perché può assumere il valore $0$ nel caso dell’insieme vuoto).

3.4 - Definizione di basi di dati

Così come per le singole relazioni, anche per le basi di dati possiamo definire uno schema e un’istanza.

Definizione: schema di una base di dati

Lo schema di una base di dati $S$ è un insieme di schemi delle relazioni $R_1,R_2,\dots ,R_n$.

Osservazione: unicità degli elementi di uno schema di una base di dati

Uno schema di una base di dati, essendo un insieme, per definizione non può avere al suo interno elementi duplicati, cioè due relazioni con lo stesso nome.

Consiglio: criteri di buon progetto

Per la costruzione di un buon progetto, dei criteri da tenere a mente durante la progettazione di schema $S$ sono:

• In caso di attributi omonimi che si riferiscono al medesimo concetto in diverse relazioni, il tipo deve essere lo stesso.
• In caso di attributi omonimi in più relazioni, il concetto espresso deve essere lo stesso.

Quindi:

• Evitare omonimie, ossia l’uso di stessi nomi per concetti diversi (es. un attributo denominato $\text{Nome}$ sia per indicare il nome proprio di una persona che per il nome di un prodotto).
• Evitare sinonimie, ossia nomi diversi per stessi concetti (es. due attributi denominati $\text{Corso}$ e $\text{Insegnamento}$ per indicare un’unità didattica).

Definizione: istanza di una base di dati

Dato uno schema di una base di dati $S$, un’istanza di una base di dati $db$ è l’insieme di tutti i record di tutte le relazioni dello schema $S$.

Ora che abbiamo definito schema e istanza di una base di dati, possiamo effettivamente definire cos’è una base di dati vera e propria.

Definizione: base di dati

Una base di dati $DB$ è un’istanza di una base di dati $db$ associata a uno schema $S$.

4 - Vincoli di integrità e chiavi

Fondamentale nel modello relazionale è l’uso dei vincoli di integrità per assicurarsi della correttezza dei dati. Essi possono essere di due tipi: locali o globali.

4.1 - Vincoli locali

Definizione: vincolo locale

Un vincolo locale (o vincolo intrarelazionale) è un vincolo posto sui valori possibili dei record di una relazione in modo che tali valori rispettino (non siano in contrasto con) la realtà che si vuole rappresentare.

Definizione: vincolo locale di dominio

Data una relazione $R(A)$, il vincolo locale di dominio stabilisce che per ogni attributo $A_1,A_2,\dots ,A_n$ esiste un insieme ben definito (anche infinito) di valori possibili che ognuno di essi può assumere, detto appunto dominio.

Esempio di vincolo locale di dominio

Data una relazione $\text{STUDENTI}(\text{Matricola},\text{Cognome},\text{Nome},\text{DataDiNascita},\text{CorsoDiLaurea},\text{MediaVoti})$, possibili vincoli locali di dominio potrebbero essere:

• L’attributo $\text{Matricola}$ deve essere un numero intero positivo.
• Gli attributi $\text{Cognome}$ e $\text{Nome}$ devono essere stringhe di testo (es. massimo 50 caratteri).
• L’attributo $\text{DataDiNascita}$ deve essere una data valida nel formato YYYY-MM-DD.
• L’attributo $\text{CorsoDiLaurea}$ può assumere solo un valore tra un insieme predefinito di corsi validi (es. Informatica, Medicina, Psicologia, Ingegneria, ecc.).
• L’attributo $\text{MediaVoti}$ deve essere un numero reale compreso tra $18$ e $30$ (valori ammessi per la media dei voti universitari in Italia).

Definizione: vincolo locale sui valori nulli

Data una relazione $R(A)$ con istanza $r$, il vincolo locale sui valori nulli su un determinato attributo $A_i$ stabilisce che, per ogni record $t$ dell’istanza $r$, il valore $t[A_i]$ non deve essere il valore nullo.

4.2 - Superchiavi e chiavi

Per poter definire in maniera formale i vincoli globali, dobbiamo introdurre prima le nozioni di superchiavi e chiavi, utili a descrivere la connessione tra le varie relazioni di una base di dati.

Definizione: superchiave

Data una relazione $R(A)$ con istanza $r$, un sottoinsieme di attributi $sk\subseteq A$ è una superchiave se, quando due record $t_i,t_j\in r$ assumono gli stessi valori per tutti gli attributi di $sk$, allora sono in realtà lo stesso record:

$$\forall t_i,t_j\in r(t_i[sk]=t_j[sk])⟹t_i[A]=t_j[A]$$

Ossia, una superchiave è un insieme di attributi che identifica univocamente ogni record della relazione.

Esempio di superchiave

Sia $\text{STUDENTI}$ la seguente relazione.

$\text{Matricola}$	$\text{Cognome}$	$\text{Nome}$	$\text{DataDiNascita}$	$\text{CorsoDiLaurea}$
$1298309$	$\text{Rossi}$	$\text{Mario}$	$14/03/2001$	$\text{Informatica}$
$7521238$	$\text{Verdi}$	$\text{Sofia}$	$30/01/2004$	$\text{Psicologia}$
$1239002$	$\text{Rossi}$	$\text{Francesco}$	$04/20/2003$	$\text{Informatica}$

Possiamo notare come l’insieme degli attributi $\{\text{Matricola},\text{Cognome},\text{CorsoDiLaurea}\}$ forma una superchiave, in quanto le triple di valori associati a questi attributi non sono duplicate:

$\text{Matricola}$	$\text{Cognome}$	$\text{CorsoDiLaurea}$
$1298309$	$\text{Rossi}$	$\text{Informatica}$
$7521238$	$\text{Verdi}$	$\text{Psicologia}$
$1239002$	$\text{Rossi}$	$\text{Informatica}$

Al contrario, l’insieme $\{\text{Cognome},\text{CorsoDiLaurea}\}$ non può rappresentare una superchiave perché i valori $⟨\text{Rossi},\text{Informatica}⟩$ sono duplicati:

$\text{Cognome}$	$\text{CorsoDiLaurea}$
$\text{Rossi}$	$\text{Informatica}$
$\text{Verdi}$	$\text{Psicologia}$
$\text{Rossi}$	$\text{Informatica}$

Proprietà: monotonicità delle superchiavi

Data una relazione $R(A)$, se un sottoinsieme di attributi $sk\subseteq A$ è una superchiave di $R$, allora ogni insieme $w$ che la contiene (ossia $sk\subseteq w\subseteq A$) è a sua volta una superchiave.

Osservazione: lo schema è una superchiave

Data una relazione $R(A)$, come conseguenza della proprietà di monotonicità delle superchiavi, otteniamo che anche lo schema $A$ stesso è una superchiave di $R$ (ma ciò si poteva anche evincere dal fatto che per definizione non ci possono essere duplicati in uno schema).

4.2.1 - Chiavi candidate

Definizione: chiave candidata

Data una relazione $R(A)$, un sottoinsieme di attributi $k\subseteq A$ è una chiave candidata se:

1. $k$ è una superchiave di $R$.
2. $k$ è minimale, ossia ogni sottoinsieme proprio $k^{\prime }⊊k$ non deve essere a sua volta una superchiave.

Esempio di chiave candidata

Sia $\text{STUDENTI}$ la seguente relazione.

$\text{Matricola}$	$\text{Cognome}$	$\text{Nome}$	$\text{DataDiNascita}$	$\text{CorsoDiLaurea}$
$1298309$	$\text{Rossi}$	$\text{Mario}$	$14/03/2001$	$\text{Informatica}$
$7521238$	$\text{Verdi}$	$\text{Sofia}$	$30/01/2004$	$\text{Psicologia}$
$1239002$	$\text{Rossi}$	$\text{Francesco}$	$04/20/2003$	$\text{Informatica}$

Delle chiavi candidate di questa relazione potrebbero essere gli attributi $\text{Matricola}$ e $\text{DataDiNascita}$, oppure l’insieme $\{\text{Cognome},\text{CorsoDiLaurea}\}$ che al suo interno non contiene altre superchiavi.

Al contrario, l’insieme $\{\text{Cognome},\text{Nome}\}$ non può essere una chiave candidata perché l’attributo $\text{Nome}$ è a sua volta una superchiave.

Osservazione: esistenza di una chiave candidata nella relazione

Data una relazione $R(A)$, essendo lo schema $A$ una superchiave, la relazione conterrà sempre almeno una chiave candidata (che, al più, sarà lo schema stesso della relazione).

4.2.2 - Chiavi primarie

Il progettista deve sempre scegliere tra le chiavi candidate una chiave primaria.

Definizione: chiave primaria

Data una relazione $R(A)$, una chiave primaria $PK$ (anche detta chiave principale) è una particolare chiave candidata $k\subseteq A$ scelta che rispetta il vincolo locale sui valori nulli.

Esempio di chiave primaria

Sia $\text{STUDENTI}$ la seguente relazione.

$\text{Matricola}$	$\text{Cognome}$	$\text{Nome}$	$\text{DataDiNascita}$	$\text{CorsoDiLaurea}$
$1298309$	$\text{Rossi}$	$\text{Mario}$	$14/03/2001$	$\text{Informatica}$
$7521238$	$\text{Verdi}$	$\text{Sofia}$	$30/01/2004$	$\text{Psicologia}$
$1239002$	$\text{null}$	$\text{Francesco}$	$04/20/2003$	$\text{Informatica}$

Una chiave primaria di questa relazione potrebbe essere l’attributo $\text{Matricola}$, mentre non può esserlo l’attributo $\text{Cognome}$ perché il terzo record ha un valore nullo.

Notazione per la chiave primaria

Una relazione $R(PK,A_1,A_2,\dots ,A_n)$, con $PK$ chiave primaria, può anche essere denotata come:

$$R(\underline{PK},A_1,A_2,\dots ,A_n)$$

Dalla definizione di chiave primaria si può formalizzare il vincolo locale di chiave primaria.

Definizione: vincolo locale di chiave primaria

Data una relazione $R(\underline{PK},A_1,A_2,\dots ,A_n)$, con $\underline{PK}$ chiave primaria e istanza $r$, il vincolo locale di chiave primaria su $\underline{PK}$ stabilisce che, per ogni record $t$ dell’istanza $r$, il valore $t[\underline{PK}]$ deve essere unico e non deve essere il valore nullo.

Rappresentazione di una chiave primaria in D2

In D2 è possibile specificare qual è la chiave primaria di una relazione aggiungendo il vincolo locale di chiave primaria all’attributo in questione.

Per esempio, consideriamo la relazione $\text{STUDENTI}$ dell’esempio della chiave primaria. Tramite D2, si può ottenere la seguente rappresentazione:

Il codice per ottenerlo è il seguente (puoi testarlo sul D2 Playground):

STUDENTI: {
  shape: sql_table
  Matricola: string {constraint: primary_key}
  Cognome: string
  Nome: string
  DataDiNascita: date
  CorsoDiLaurea: string
}
 

4.3 - Vincoli globali

Definizione: vincolo globale

Un vincolo globale (o vincolo interrelazionale) è un vincolo posto sui valori possibili dei record delle relazioni di uno schema di una base di dati in modo che tali valori rispettino (non siano in contrasto con) la realtà che si vuole rappresentare.

Definizione: vincolo globale di integrità referenziale

Il vincolo globale di integrità referenziale (o di chiave esterna) stabilisce che, date due relazioni $R_h(\underline{PK},\dots )$ (dove $\underline{PK}$ è la chiave primaria di $R_h$) e $R_s(\dots ,FK,\dots )$ (dove $FK$ è un sottoinsieme di attributi dello schema di $R_s$ detto chiave esterna) con istanze $r_h$ e $r_s$, per ogni record $t_i$​ di $R_s$, esiste almeno un record $t_j$ in $R_h$ tale che il valore degli attributi $FK$ corrisponde al valore della chiave primaria $\underline{PK}$ in $t_j$:

$$\forall t_i\in r_s,\exists t_j\in r_h(t_i[FK]=t_j[\underline{PK}])$$

Esempio di vincolo globale di integrità referenziale

Sia $\text{PAZIENTI}$ la seguente relazione.

$\underline{\text{Codice}}$	$\text{Cognome}$	$\text{Nome}$	$\text{Residenza}$	$\text{AnnoNascita}$
$\text{A102}$	$\text{Necchi}$	$\text{Luca}$	$\text{TO}$	$1950$
$\text{B372}$	$\text{Rossigni}$	$\text{Piero}$	$\text{NO}$	$1940$
$\text{B543}$	$\text{Missoni}$	$\text{Nadia}$	$\text{TO}$	$1960$
$\text{B444}$	$\text{Missoni}$	$\text{Luigi}$	$\text{VC}$	$2000$
$\text{S555}$	$\text{Rossetti}$	$\text{Gino}$	$\text{AT}$	$2010$

Sia $\text{RICOVERI}$ la seguente relazione.

$\underline{\text{Paziente}}$	$\underline{\text{Inizio}}$	$\text{Fine}$	$\text{Reparto}$
$\text{A102}$	$\text{02/05/2014}$	$\text{19/05/2014}$	$\text{A}$
$\text{A102}$	$\text{02/12/2004}$	$\text{22/01/2005}$	$\text{A}$
$\text{S555}$	$\text{05/10/2014}$	$\text{03/12/2014}$	$\text{B}$
$\text{B444}$	$\text{11/12/2004}$	$\text{02/01/2005}$	$\text{B}$
$\text{S555}$	$\text{16/09/2015}$	$\text{21/11/2015}$	$\text{A}$

In questa situazione, l’attributo $\underline{\text{Paziente}}$ in $\text{RICOVERI}$ funge da chiave esterna che fa riferimento alla chiave primaria $\underline{\text{Codice}}$ in $\text{PAZIENTI}$: infatti, per ogni valore di $\text{RICOVERI.Paziente}$ si trova un corrispondente in $\text{PAZIENTI.Codice}$.

Osservazione: condizioni necessarie per il vincolo globale di integrità referenziale

Per far sì che il vincolo globale di integrità referenziale possa valere, i domini dei tipi degli attributi in $\underline{PK}$ devono essere compatibili con i domini dei tipi degli attributi in $FK$.

Rappresentazione di una chiave esterna in D2

In D2 è possibile specificare qual è la chiave esterna di una relazione aggiungendo il vincolo globale di integrità referenziale all’attributo in questione.

Per esempio, consideriamo l’esempio di vincolo di integrità referenziale precedente. Tramite D2, si può ottenere la seguente rappresentazione:

Il codice per ottenerlo è il seguente (puoi testarlo sul D2 Playground):

PAZIENTI: {
  shape: sql_table
  Codice: string {constraint: primary_key}
  Cognome: string
  Nome: string
  Residenza: string
  AnnoNascita: int
}
 
RICOVERI: {
  shape: sql_table
  Paziente: string {constraint: [primary_key; foreign_key]}
  Inizio: time_stamp {constraint: primary_key}
  Fine: time_stamp
  Reparto: string
}
 
RICOVERI.Paziente -> PAZIENTI.Codice
 

4.4 - Correttezza dei dati

Il rispetto dei vincoli assicura la correttezza della relazione e, in generale, di tutta la base di dati.

Definizione: correttezza di una relazione

Una relazione $R(A)$ con istanza $r$ è detta corretta se ogni record dell’istanza $r$ è compatibile con lo schema $A$ e sono soddisfatti tutti i vincoli locali.

Definizione: correttezza di una base di dati

Una base di dati $DB$ con schema $S$ e istanza $db$ è detta corretta se ogni record dell’istanza $db$ è compatibile con lo schema $S$ e sono soddisfatti tutti i vincoli locali e globali.

Fonti

• 🏫 Lezioni e slide del Prof. Pensa Ruggero Gaetano del corso di Basi di Dati (canale B), Corso di Laurea in Informatica presso l’Università di Torino, A.A. 2024-25:
  • 2. Il modello relazionale.
• 🏫 Appunti di Luca Barra del corso di Basi di Dati, Corso di Laurea in Informatica presso l’Università di Torino, A.A. 2022-23 (caricati sul repository GitHub del Collettivo Studentesco Informatica).