Funzioni

1 - Introduzione alle funzioni

Definizione: funzione

Una relazione binaria $f$ tra due insiemi $A$ e $B$ si dice funzione da $A$ in $B$ se:

1. Per ogni $a\in A$ c’è un $b\in B$ tale che $(a,b)\in f$.
2. Se $(a,b_1)\in f$ e $(a,b_2)\in f$, allora $b_1=b_2$.

In questo caso scriveremo:

$$\begin{array}{rl}f:A& \to B\\ a& \mapsto b\end{array}$$

Inoltre:

• L’unico $b\in B$ tale che $(a,b)\in f$ si indica con "$f(a)$".
• L’insieme $A$ è detto dominio della funzione e si indica con "$\text{dom}(f)$".
• L’insieme $B$ è detto codominio della funzione.

Esempio: $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$

La funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$ o $f(x)=x^2$ è una funzione che associa a ogni numero reale $x$ il suo quadrato $y=x^2$. Essa è una funzione perché per ogni numero il suo quadrato è unico e non può averne altri.

Esempio: $R=\{(1,2),(1,3),(2,4)\}$ non è una funzione

Data una relazione binaria $R=\{(1,2),(1,3),(2,4)\}$, essa non è una funzione in quanto c’è un elemento del dominio (l’elemento $1$) che è associato a più elementi del codominio (gli elementi $2$ e $3$).

Osservazione: funzione come dipendenza tra due grandezze

Il concetto di funzione è il modello matematico che esprime la dipendenza tra due grandezze. Se una certa grandezza $Y$ dipende da un’altra grandezza $X$ e se a ogni valore di $X$ è associato un unico valore di $Y$, allora $Y$ è una funzione di $X$: in questo caso si dice che $X$ è la grandezza indipendente e che $Y$ è la grandezza dipendente.

Un esempio molto semplice è dato dalle grandezze $X$ e $Y$ definite rispettivamente come “lunghezza del lato di un quadrato” e “area del quadrato”: l’insieme dei possibili valori assunti da $X$, cioè il dominio, è $\{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}$ e a ogni $x$ si associa l’area corrispondente $y=x^2$ (in opportune unità di misura), che è l’unico valore dell’area del quadrato di lato avente lunghezza $x$. Possiamo quindi affermare che l’area del quadrato è funzione della lunghezza del suo lato, secondo la relazione:

$$\forall x>0(f(x)=x^2)$$

Osservazione: funzione come concetto non strettamente algebrico

La nozione di “funzione” è molto generale e non si limita a considerare solo quelle funzioni che si possono scrivere esplicitamente usando le quattro operazioni aritmetiche ed altre funzioni note, come quelle trigonometriche. Per esempio, si può scegliere di definire una funzione del tipo:

$$\begin{array}{rl}f:\mathbb{N}& \to \mathbb{N}\\ n& \mapsto \text{l’n-esimo numero primo}\end{array}$$

oppure una funzione del tipo:

$$\begin{array}{rl}f:\mathbb{R}& \to \mathbb{N}\\ x& \mapsto \text{la 127-esima cifra di x nel suo sviluppo decimale}\end{array}$$

Osservazione: funzione come processo con input e output

Il concetto di funzione può essere facilmente inteso in termini di processo che, dato un certo input, fornisce un determinato output.

Una funzione $f$ è assimilabile a una macchina che prende in ingresso un valore $x$ e restituisce in uscita un unico valore corrispondente $f(x)$:

$$\boxed{x}\to \boxed{f(x)}$$

Il valore in uscita si ottiene spesso mediante una procedura che specifica le operazioni da effettuare sul valore in ingresso: per esempio, per la funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita come $f(x)=2x+1$, la procedura può essere descritta dalle operazioni “moltiplica per 2” e “aggiungi 1”:

$$\boxed{x}\stackrel{\text{moltiplica per }2}{\to }\boxed{2x}\stackrel{\text{aggiungi }1}{\to }\boxed{2x+1}$$

1.1 - Rappresentazione grafica di funzioni con diagrammi di Venn

1.2 - Grafico di una funzione

Definizione: grafico di una funzione

Data una funzione $f:A\to B,x\mapsto f(x)$, si definisce grafico di $f$ il sottoinsieme ${\Gamma }_f\subseteq {\mathbb{R}}^2$ definito da:

$${\Gamma }_f=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x\in A,y=f(x)\}=\{(x,f(x))\mid x\in A\}$$

cioè l’insieme delle coppie di elementi in ${\mathbb{R}}^2$ legate tra di loro dalla funzione $f$.

1.3 - Immagine e controimmagine

Definizione: immagine

Data una funzione $f:A\to B,x\mapsto f(x)$:

• L’elemento $f(x)$ è detto immagine di $a$ mediante $f$ (oppure valore di $f$ su $a$).
• Dato un sottoinsieme $C\subseteq A$, l’insieme degli $f(x)\in B$ associati a ogni $x\in C$, denotato con "$f(C)$", è detto immagine di $C$:

$$\begin{array}{rl}f(C)& =\{f(x)\mid x\in C\}\\ & =\{y\in B\mid \exists x\in C(f(x)=y)\}\end{array}$$

• Se $C=A$, l’insieme degli $f(x)\in B$ associati a ogni $x\in A$, denotato con "$\text{rng}(f)$", è detto immagine della funzione $f$ (o range di $f$):

$$\begin{array}{rl}\text{rng}(f)& =\{f(x)\mid x\in A\}\\ & =\{y\in B\mid \exists x\in A(f(x)=y)\}\end{array}$$

Definizione: controimmagine

Data una funzione $f:A\to B,x\mapsto f(x)$:

• L’insieme degli $x\in A$ associati a un elemento $y\in B$, denotato con $f^{-1}(y)$, è detto controimmagine di $y$:

$$f^{-1}(y)=\{x\in A\mid f(x)=y\}$$

• Dato un sottoinsieme $D\subseteq B$, l’unione di tutte le controimmagini degli $x\in A$ associati a ogni $f(x)\in D$, denotato con "$f^{-1}(D)$", è detto controimmagine di $D$:

$$f^{-1}(D)=\bigcup _{y\in D}{f}^{-1}(y)$$

• Se $D=B$, l’insieme degli $x\in A$ associati a ogni $y\in B$ corrisponde al dominio di $f$.

Esempio: controimmagine di una funzione costante

Data una funzione costante $f_{\beta }:A\to B,a\mapsto \beta$, se $T⊊B$ è un sottoinsieme del codominio $B$ si ha che:

• Se $\beta \in T$, allora $f^{-1}(T)=A$.
• Se $\beta \notin T$, allora $f^{-1}(T)=\varnothing$.

Esempio: controimmagine di una funzione proiezione

Data una funzione proiezione $p_2:A\times B\to B,(a,b)\mapsto b$, allora $\forall b\in B(f^{-1}(b)=A\times \{b\})$.

Esempio: controimmagine della funzione $f:[-1,1]\to \mathbb{R},x\mapsto \sin (x)$

Data una funzione $f:[-1,1]\to \mathbb{R},x\mapsto \sin (x)$, la controimmagine dell’insieme $\mathbb{N}⊊\mathbb{R}$ dei numeri naturali è l’insieme:

$$f^{-1}(\mathbb{N})=\left\{\dots ,-\frac{3\pi }{2},-\pi ,-\frac{\pi }{2},0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},\dots \right\}=\left\{\frac{n\pi }{2}|n\in \mathbb{Z}\right\}$$

1.4 - Piano cartesiano

Per rappresentare un grafico “visivamente” si usa il piano cartesiano, cioè un piano composto da due rette perpendicolari tra loro, dette assi cartesiani, che hanno alcune caratteristiche particolari:

• Sono disegnate in modo che una di esse sia orizzontale e l’altra verticale.
• Ognuna di loro rappresenta una grandezza: generalmente la retta orizzontale, detta asse delle ascisse, rappresenta i valori che può assumere la $x$, mentre la retta verticale, detta asse delle ordinate, rappresenta i valori che può assumere la $y$.
• Sono orientate, cioè a una delle due estremità presentano una freccia che indica il verso in cui le grandezze aumentano di valore (generalmente verso destra per l’asse delle ascisse e verso l’alto per l’asse delle ordinate).
• Il loro punto di incontro viene detto origine degli assi e viene indicato con $O$.

Inoltre, le quattro parti in cui viene diviso il piano dagli assi prendono il nome di quadranti e, partendo da quello in alto a destra e procedendo in senso antiorario, vengono numerati da $1$ a $4$.

Esempio: piano cartesiano di $f(x)=3x-1$

Il grafico della funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto 3x-1$ è l’insieme ${\Gamma }_f=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y=3x-1\}$ ed è rappresentato dalla seguente retta nel piano cartesiano:

Esempio: ricavare le informazioni dal grafico di una funzione

Si consideri la funzione $f$ che presenta il seguente grafico:

Il dominio $D$ di $f$, ossia l’insieme di tutti i valori $x$ per cui esiste $f(x)$, è dato da $D=[-2;1]\cup (2;5]$. Si presti attenzione al fatto che $x=2$ non appartiene al dominio di $f$, infatti il pallino vuoto in corrispondenza del punto $(2,-3)$ significa che tale punto non appartiene al grafico di $f$; di conseguenza, non esistono punti sul grafico di $f$ aventi ascissa $x=2$ e, dunque, $2\notin D$.

Per determinare l’immagine $f(D)$ di $f$ si devono trovare tutti i possibili valori $f(x)$ al variare di $x\in D$; essi si leggono sull’asse delle ordinate e sono tutte le quote $y$ alle quali esiste un punto sul grafico di $f$. Si ha quindi $f(D)=(-3;0]\cup [2;5]$.

2 - Definizione di una funzione

Una funzione $f:A\to B$ può essere descritta in vari modi:

• Fornendo un elenco di tutte le coppie $(a,b)\in A\times B$ tali che $(a,b)\in f$, ovvero tali che $b=f(a)$.

Esempio

Dati due insiemi $A=\{a,b,c\}$ e $B=\{0,1\}$, allora la lista:

$$\begin{array}{r}f(a)=0\\ f(b)=1\\ f(c)=0\end{array}$$

descrive in maniera univoca una funzione $f:A\to B$.

• Fornendo una “regola” che permette di determinare i valori di $f$ su ciascun $x\in A$. Gli insiemi numerici rappresentati da dominio e codominio devono essere stati specificati precedentemente o facilmente intuibili dal contesto.

Esempio

Facendo finta di star lavorando esclusivamente su numeri reali, la scrittura:

$$f(x)=x^2+3$$

descrive in maniera univoca una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ che manda ogni $x\in \mathbb{R}$ in un $y\in \mathbb{R}$ tale che $y=f(x)$ sia uguale a $x^2+3$.

• Un mix dei due.

Esempio

Facendo finta di star lavorando esclusivamente su numeri reali, la scrittura:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\pi & x=0\\ \frac{1}{x}& x\ne 0\end{array}$$

descrive in maniera univoca una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fornendo in alcuni casi il valore esplicito ($f(x)=\pi$ quando $x=0$) della funzione e in altri casi una “regola” per calcolarne il valore ($f(x)=\frac{1}{x}$ quando $x\ne 0$).

• Usando la notazione "$f:A\to B,x\mapsto f(x)$" per dire che $f$ è una funzione da $A$ in $B$ che manda un generico elemento $a\in A$ nel valore corrispondente $f(a)\in B$.

Esempio

La scrittura:

$$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N},x\mapsto 2x$$

indica che $f$ è la funzione da $\mathbb{N}$ in sé stesso che manda ogni numero naturale nel suo doppio.

3 - Uguaglianza di due funzioni

Definizione: uguaglianza di due funzioni

Date due funzioni $f$ e $g$, sono definite uguali se hanno lo stesso dominio e lo stesso codominio e se $f(x)=g(x)$ per ogni elemento $x$ del dominio.

Esempio: uguaglianza di due funzioni apparentemente diverse

Date due funzioni $f(x)=3x^2-1$ e $g(x)=x^3+2x-1$ definite in $\mathbb{R}$ e con dominio $\{0,1,2\}$, ossia $f,g:\{0,1,2\}\to \mathbb{R}$, allora $f=g$ perché:

• $f(0)=g(0)=-1$;
• $f(1)=g(1)=2$;
• $f(2)=g(2)=11$.

4 - Funzioni particolari

Definizione: funzione identità

Dato un insieme $X$, la funzione identità ${\text{id}}_X$ su $X$ è la funzione che associa a ogni elemento di $X$ se stesso:

$$\begin{array}{rl}{\text{id}}_X:X& \to X\\ x& \mapsto x\end{array}$$

Definizione: funzione costante

Dati due insiemi $A$ e $B$ non necessariamente distinti e un elemento fissato $\beta \in B$, la funzione costante $f_{\beta }$ con valore $\beta$ è la funzione che associa a ogni elemento di $A$ sempre lo stesso elemento $\beta$ di $B$:

$$\begin{array}{rl}{f}_{\beta }:A& \to B\\ a& \mapsto \beta \end{array}$$

Definizione: funzione proiezione

Dati due insiemi $A$ e $B$, le funzioni proiezioni $p_1$ e $p_2$ sui singoli fattori sono le funzioni che associano a ogni coppia di valori $(a,b)\in A\times B$ uno solo dei due valori:

$$\begin{array}{rl}{p}_1:A& \to B\\ (a,b)& \mapsto a\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{p}_2:A& \to B\\ (a,b)& \mapsto b\end{array}$$

Definizione: funzione restrizione

Data una funzione $f:A\to B$ e un sottoinsieme $C\subseteq A$, si dice restrizione di $f$ a $C$ la funzione $f_{|C}$ che restringe il dominio di $f$ a $C$:

$$\begin{array}{rl}{f}_{|C}:C& \to B\\ x& \mapsto f_{|C}(x)\end{array}$$

Essa è cioè una funzione che in $C$ si comporta esattamente come la funzione originaria si comporta in $A$, ma che si “dimentica” dei punti al di fuori di quel sottoinsieme.

Esempio: $f{|}_{\mathbb{N}}:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ restrizione di $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

Data una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$, essa si può restringere al sottoinsieme $\mathbb{N}⊊\mathbb{R}$ e diventa la funzione $f{|}_{\mathbb{N}}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}x\mapsto x^2$.

Iniettività, suriettività e biettività

Iniettività

Definizione: iniettività

Una funzione $f:A\to B$ si dice che è iniettiva o che è una iniezione se, per ogni scelta di due numeri $a_1,a_2\in A$ con $a_1\ne a_2$, si ha $f(a_1)\ne f(a_2)$:

$$\forall a_1,a_2\in A(a_1\ne a_2⟹f(a_1)\ne f(a_2))$$

Esempio: esempio grafico dell’iniettività

Un esempio grafico dell’iniettività è il seguente, in cui ogni elemento dell’insieme $A=\{2,4,6\}$ è associato a un solo elemento dell’insieme $B=\{9,7,5,3\}$:

La rappresentazione mediante diagrammi di Venn di una funzione iniettiva f : A → B e tale che ogni punto di B e raggiunto al pi`u da una freccia.

Esempio: iniettività della funzione $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},n\mapsto 2n+1$

Data una funzione $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},n\mapsto 2n+1$, essa è iniettiva. Infatti, dati due interi $m\ne n$ si ha certamente $f(m)=2m+1\ne f(n)=2n+1$.

Esempio: non-iniettività della funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$

Data una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$, essa non è iniettiva. Infatti, si ha $f(1)=f(-1)=1$ e, più in generale, $\forall x\in \mathbb{R}(f(x)=f(-x))$.

Esempio: iniettività della funzione proiezione $p_1:A\times B\to A,(a,b)\mapsto a$

Data una funzione proiezione $p_1:A\times B\to A,(a,b)\mapsto a$, siccome si ha $p_1((a,b))=a$ per ogni $(a,b)\in A\times B$ la funzione è iniettiva solo se $B$ consiste di un unico elemento: se $B$ contiene due elementi distinti $b_1$ e $b_2$ allora $p_1((a,b_1))=p_1((a,b_2))$.

Osservazione: rendere una funzione iniettiva restringendo il dominio

Una funzione $f:A\to B$ non iniettiva può diventare iniettiva restringendo opportunamente il dominio. Per esempio, la funzione $f(x)=x^2$ che non è iniettiva sul dominio $\mathbb{R}$, può diventarlo se viene ristretto il dominio ai numeri reali non-negativi. Infatti, per ogni coppia di due numeri reali non-negativi distinti $x_1$ e $x_2$, si avrà sicuramente $x_1^2\ne x_2^2$.

Suriettività

Definizione: suriettività

Una funzione $f:A\to B$ si dice che è suriettiva o che è una suriezione se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio:

$$\forall y\in B,\exists x\in A(f(x)=y)$$

Esempio: esempio grafico della suriettività

Un esempio grafico della suriettività è il seguente, in cui ogni elemento dell’insieme $B=\{9,7,5\}$ è associato ad almeno un elemento della funzione $A=\{2,4,6,8\}$:

La rappresentazione mediante diagrammi di Venn di una funzione suriettiva f : A → B e tale che ogni punto di B e raggiunto almeno da una freccia.

Esempio: non-suriettività della funzione $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},x\mapsto 2x+1$

Data una funzione $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},x\mapsto 2x+1$, le immagini dei singoli elementi sono sempre numeri dispari e ogni numeri intero dispari $m$ può essere scritto nella forma $\forall k\in \mathbb{Z}(m=2k+1)$. Dunque $m=f(k)$ e si può concludere che l’immagine di $f$ è costituita dagli interi dispari ovvero $\text{rng}(f)=2\mathbb{Z}+1$. Poiché $2\mathbb{Z}+1\ne \mathbb{Z}$, la funzione $f$ non è suriettiva.

Esempio: non-suriettività della funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$

Data una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$, le immagini dei singoli elementi sono sempre numeri reali non negativo e ogni reale non negativo $y$ può essere scritto nella forma $\forall x\in \mathbb{R}(y=x^2)$. Dunque $y=f(x)$ e si può concludere che l’immagine di $f$ è costituita dai numeri reali positivi, ovvero $\text{rng}(f)=\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 0\}$. Poiché $\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 0\}\ne \mathbb{R}$, la funzione $f$ non è suriettiva.

Esempio: suriettività della funzione $f:[0,+\infty ]\to \mathbb{R},x\mapsto \log (x)$

Data una funzione $f:[0,+\infty ]\to \mathbb{R},x\mapsto \log (x)$, ogni numero reale $r$ è il logaritmo di un altro qualsiasi numero reale $x$ (basti prendere $x=e^r$). Dunque, dato che $\text{rng}(f)=\mathbb{R}$, la funzione è suriettiva.

Esempio: suriettività della funzione proiezione $p_1:A\times B\to A,(a,b)\mapsto a$

Data una funzione proiezione $p_1:A\times B\to A$, poiché $B\ne \varnothing$ (se $B$ fosse vuoto allora $A\times B=A\times \varnothing =\varnothing$ e non si potrebbe parlare di funzione) e dato un $a\in A$ si può sempre scrivere $\forall b\in B(a=p_1((a,b)))$. Pertanto, ogni $a\in A$ è anche in $\text{rng}(p_1)$, quindi $A=\text{rng}(p_1)$ e $p_1$ è suriettiva.

Osservazione: suriettività intesa come $\text{rng}(f)=B$

Un’altra definizione della suriettività è quella secondo cui la funzione $f$, per essere suriettiva, deve avere l’immagine corrispondente al codominio:

$$\text{rng}(f)=B$$

In questo caso, infatti, si ha che non ci sono elementi del codominio senza una controimmagine in $A$.

Biettività

Definizione: biettività

Una funzione $f:A\to B$ si dice che è biettiva o che è una biezione se è contemporaneamente sia iniettiva che suriettiva, ovvero se per ogni elemento del codominio $y\in B$ esiste ed è unico un elemento del dominio $x\in A$ tale che $f(x)=y$:

$$\forall y\in B,\exists !x\in A(f(x)=y)$$

Esempio: esempio grafico della biettività

Un esempio grafico della suriettività è il seguente, in cui ogni elemento dell’insieme $B=\{9,7,5,3\}$ è associato a uno e un solo elemento della funzione $A=\{2,4,6,8\}$:

La rappresentazione mediante diagrammi di Venn di una funzione biettiva f : A → B e tale che ogni punto di B e raggiunto esattamente da una freccia.

Esempio: biettività della funzione identità

Per ogni insieme $A$, la funzione identità ${\text{id}}_A:A\to A$ è biettiva, in quanto a ogni elemento del codominio è associato un solo elemento del dominio (ossia se stesso).

Esempio: biettività della funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$ con restringimento di dominio

Data una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$, essa non è né iniettiva, né suriettiva, ma può diventare biettiva restringendo il suo dominio ai numeri non-negativi $\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 0\}$ e pensandola con codominio $\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 0\}$ (se il codominio fosse $\mathbb{R}$, allora non potrebbe essere suriettiva, in quanto non ci sono numeri che, elevati alla seconda, danno numeri negativi). In questo modo, per ogni numero reale $x>0$ esiste un solo $y>0$ tale che $y=x^2$.

Esempio: biettività della funzione $f:A\times B\to B\times A,(a,b)\mapsto (b,a)$

La funzione $f:A\times B\to B\times A,(a,b)\mapsto (b,a)$ è una biezione. Infatti, ogni coppia $(b,a)\in B\times A$ è immagine solo di una coppia $(a,b)\in A\times B$.

Osservazioni: 1 Se f : A → A con A finito si ha che f e una biezione se e solo se f e una iniezione se e solo se f e una suriezione. Lo stesso vale per le funzioni f : A → B in cui A e B sono insiemi finiti con lo stesso numero di elementi. 2 Se f : A → B e iniettiva allora f : A → rng(f ) (ovvero la stessa f , ma vista come funzione da A nella sua immagine) e una biezione. 3 Date f : A → B e g : B → C, si ha che se sia f che g sono iniettive anche g ◦ f lo e, e se f e g sono entrambe suriezioni anche g ◦ f lo e. In particolare, la composizione di due biezioni e una biezione. 4 Sia f : A → B una funzione. Allora f e un’iniezione se e solo se f −1(b) contiene al piu un elemento per ogni b ∈ B, ed `e una suriezione se e solo se f −1(b) \ne ∅ per ogni b ∈ B

Relazioni con la cardinalità

Proposizione: iniettività, suriettività e biettività dipendono dalla cardinalità

Data una funzione $f:A\to B$, la sua iniettività, suriettività o biettività dipendono dalla sua cardinalità:

1. $f$ è suriettiva se e soltanto se $|f^{-1}(b)|\ge 1$ per ogni $b\in B$.

2. $f$ è iniettiva se e soltanto se $|f^{-1}(b)|\le 1$ per ogni $b\in B$.

3. $f$ è biettiva se e soltanto se è sia suriettiva che iniettiva, cioè se $|f^{-1}(b)|=1$ per ogni $b\in B$.

Dimostrazione

1. La condizione che esista un elemento $a\in f^{-1}(b)$ (cioè che $|f^{-1}(b)|\ge 1$) è equivalente, per la definizione di controimmagine, alla condizione che esista un $a\in A$ tale che $f(a)=b$.

2. Si può dimostrare analogamente che $f$ non è iniettiva se e soltanto se esiste un $b\in B$ tale che $|f^{-1}(b)|\ge 2$, in quanto in questo caso esistono due elementi distinti $a_1\ne a_2$ nel dominio tali che $f(a_1)=f(a_2)=b$.

3. Una funzione per essere biettiva deve essere sia iniettiva che suriettiva, quindi dovendo essere $|f^{-1}(b)|$ sia $\ge 1$ che $\le 1$, l’unico caso che soddisfa entrambe le condizioni è $|f^{-1}(b)|=1$.

$■$

Composizione di funzioni

Definizione: composizione di due funzioni

Date due funzioni $f:A\to B$ e $g:B\to C$, la composizione di $f$ e $g$, denotata con "$g\circ f$", è la funzione:

$$\begin{array}{rl}g\circ f:A& \to C\\ a& \mapsto g(f(a))\end{array}$$

È importante osservare che la composizione $g\circ f$ è definita solo se il codominio di $f$ coincide col dominio di $g$.

Osservazione: composizione rappresentata con le frecce

La notazione “a frecce” delle funzioni permette di rappresentare semplicemente la composizione $g\circ f$ come: $A\stackrel{f}{\to }B\stackrel{g}{\to }C,A\stackrel{g\circ f}{\to }C$ dove entrambi i percorsi che può seguire un elemento $a\in A$ per arrivare in $C$ danno lo stesso risultato.

Esempio: composizione di $f(x)=x^2$ con $g(x)=4x+1$

Date due funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x^2$ e $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},g(x)=4x+1$, allora la funzione composta $g\circ f$ è definita da

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=4f(x)+1=4x^2+1$$

Invertendo i ruoli di $f$ e $g$, è possibile definire anche la funzione composta $f\circ g$ definita da

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))=(g(x){)}^2=(4x+1{)}^2$$

Osservazione: composizione di una funzione costante con altre funzioni

Data una funzione costante $f_{\beta }:A\to B,a\mapsto \beta$, allora per ogni funzione $g:B\to C$ e per ogni funzione $h:D\to A$ si ha:

• $\forall a\in A((g\circ f_{\beta })(a)=g(\beta ))$.
• $\forall d\in D((f_{\beta }\circ h)(d)=f_{\beta }(h(d))=\beta )$.

Quindi $g\circ f_{\beta }:A\to C$ è la funzione costante $f(g(\beta ))$ e $f_{\beta }\circ h:D\to B$ è la funzione costante $f_{\beta }$ con dominio $D$. Dal punto di vista grafico: $D\stackrel{h}{\to }A\stackrel{f_{\beta }}{\to }B\stackrel{g}{\to }C,D\stackrel{f_{\beta }}{\to }B,A\stackrel{f(g(\beta ))}{\to }C$

Fonti

• Lezioni dei Prof. Chen Yu e Terracini Lea del corso di Matematica Discreta (canale C), Corso di Laurea in Informatica presso l’Università di Torino, A.A. 2023-24.
• Lezioni del Prof. Radeschi Marco del corso di Algebra Lineare (canale C), Corso di Laurea in Informatica presso l’Università di Torino, A.A. 2023-24.
• 🏫 Lezioni e slide del Prof. Viale Matteo del corso di Logica Matematica (canale B), Corso di Laurea in Informatica presso l’Università di Torino, A.A. 2024-25:
  • 2.3 - Funzioni_moodle.pdf